ВИЗНАЧЕННЯ ГЕОМЕТРІЇ ЛІНІЙ ПЛИННОСТІ (ЛІНІЙ ЛЮДЕРСА) В УМОВАХ ПЛОСКОЇ ДЕФОРМАЦІЇ - Наукові конференції
Головна
UA PL EN

Вас вітає Інтернет конференція!

Вітаємо на нашому сайті

Рік заснування видання - 2011

ВИЗНАЧЕННЯ ГЕОМЕТРІЇ ЛІНІЙ ПЛИННОСТІ (ЛІНІЙ ЛЮДЕРСА) В УМОВАХ ПЛОСКОЇ ДЕФОРМАЦІЇ

07.04.2026 14:44

[3. Технічні науки]

Автор: Гануліч Борис Костянтинович, кандидат технічних наук, старший науковий співробітник, доцент, Луцький національний технічний університет, м. Луцьк; Гуда Оксана Вікторівна, кандидат технічних наук, доцент, Луцький національний технічний університет, м. Луцьк


ORCID: 0000-0002-3337-5066 Гануліч Б.К.

ORCID: 0000-0002-3602-7892 Гуда О.В.

Вступ. Класичні теорії пластичності (деформаційна, пластичної плинності, ковзання), а також теорія малих пружно-пластичних деформацій, передбачають такий розвиток пружно-пластичних зон: спочатку зразок деформується тільки пружно; за досягнення параметром навантаження деякого значення у місцях, де реалізується критерій пружно-пластичного переходу, появляються пружно-пластичні зони, обмежені гладкими поверхнями; подальше монотонне у часі збільшення навантаження зумовлює монотонне розширення меж пружно-пластичної зони. Таким чином, виникаючи у точках, ці зони утворюють компактні області, які мають скінченний (обмежений знизу) об’єм у тривимірному випадку або скінченну площу у плоскому. Рівномірно напружений зразок за певного навантаження одночасно на всьому об’ємі переходить у пружно-пластичний стан. Експериментально виявлено [1–3], що за однорідного одновісного розтягування металевих зразків початкові пластичні деформації локалізовані у вузьких шарах – смугах Людерса. У відпалених низько вуглецевих сталях початкові смуги Людерса настільки тонкі, що мають тільки один розмір – довжину.   

За навантаження в умовах плоскої деформації  умовою появи лінії плинності довжини l приймається рівність




причому вектор  тут є перпендикулярним до осі Оz, якщо плоска деформація визначена так, що на переміщення точок тіла накладені умови: Ux=  Ux (x,y),   Uy=  Uy (x,y),  Uz =0. 

Рівняння для знаходження ліній плинності і полів напружень, які зумовлюють їх появу за навантаження в умовах плоскої деформації. Нехай a, b – абсциси початку і кінця лінії плинності y=y(x). Тоді умова (1) має вигляд                      







Згідно зі сформульованою умовою появи лінії плинності, функціонал




до появи лінії плинності  буде завжди додатним, а за досягнення умови (2) набуде нульового значення, тобто перші незворотні акти зсувів-проковзувань відбудуться по лініях y(x), на яких функціонал (4) мінімальний і рівний нулю. Якщо y = y(x), x є [a, b], то дотичне напруження на елементі dl лінії плинності можна записати так [4]:




де σy , σx , τxy – компоненти тензора напружень, dy/dx=tg∝,  ∝– кут між дотичною до лінії плинності і віссю Ох.

Підставивши вираз (5) у (4), отримаємо: 




Отже, задачу зводимо до знаходження ліній, на яких функціонал (6) мінімальний і рівний нулю. Визначення екстремумів функціонала типу (6) є однією із задач варіаційного обчислення [5]. Варіаційне рівняння Ойлера [5] 






За відомого поля напружень рівняння (8) можна розв’язати і знайти екстремуми функціонала (7), тобто лінії плинності. За вже відомої лінії можна, підставивши у рівність граничної рівноваги (2) розрахувати навантаження, які зумовлюють появу пластичних деформацій у вигляді ліній плинності. Таким чином, для того, щоб лінія y=y(x) була лінією плинності, компоненти напружень  σx=σx (x,y)  σy=σy (x,y)  τxy=τxy (x,y) на   y(x) повинні задовольняти диференціальне рівняння (8) і умову (2).  Насправді під час випробувань лабораторних зразків в умовах, близьких до плоскої деформації, виявляється, що у багатьох випадках пластичні деформації локалізуються у тонких прямолінійних шарах, тобто поверхня плинності є площиною. Пряму лінію плинності у подальшому називатимемо смугою плинності. Доречно відзначити, що біля вершини тріщини нормального відриву на певній стадії навантаження пластичні деформації локалізуються у двох симетричних відносно тріщини смугах плинності [6]. Припустимо, що екстремумами функціонала (6), тобто розв’язками рівняння (8), будуть площини y(x)=kx+q. Для того, щоб y(x)=kx+q було розв’язком рівняння (8), очевидно, необхідно і достатньо




Як відомо, для того, щоб напруження σx, σy, τxy задовольняли диференціальні рівняння рівноваги, достатньо  прийняти [4]




Якщо ці компоненти напружень підставити у вираз (9), то отримаємо:




Коефіцієнт k можна прирівняти до нуля, оскільки завжди є можливість вибрати систему координат так, щоб вісь Ох направити вздовж смуги плинності. Тому розв’язок рівняння (11) набуває вигляду




де нові координати (x1,y1 )отримують поворотом початкової системи координат хОу на кут  α =arctgk і перенесенням початку координат у точку (0,q) за відомими формулами: x1=xcosα+(y-q)sinα,y1=-xsinα+(y-q)cosα. Ci (y1 )  (i=1,2,3)- довільні, тричі диференційовні функції, а С(0)=0.                                                                                                                                                


Таким чином, моменту появи на осі Ох1 смуги плинності передує напружений стан, який описується функцією напружень (12).

Висновок. Отримані результати можуть бути використані при описі напруженого стану біля вершини тріщини нормального відриву при квазікрихкому руйнуванні в умовах плоскої деформації як це передбачається у роботах [6-17 ].


Література

1. F. A. McClintock  and  A. S. Argon, Mechanical Behavior of Materials (Addison-Wesley, Reading, MA,1966).- 420р.

2. A. A. Nádai, Mechanics of the Plastic State of Matter. - McGraw-Hill, New York,1931.- 350 p. 

3. S. 3.N. Bandyopadhyay, G. S. Singh, and G. L. Murty, An experimental study of crack tip plastic flow in mild steel //Eng. Fract. Mech. -1981.-14,Is.3 -  P. 565–580.  https://doi.org/10.1016/0013-7944(81)90044-8

4.Timoshenko S.P. and Goodier J,N. Theory of Elasticity. –New York: McGraw-Hill,1970. -576 p.

5. A. G. Korn and T. M. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems and Formulas for Reference and Review.- Mineola, NY: Dover Publications. Inc., 2013. - 1152 p. 

6. B. K. Ganulich, On stress relaxation at a mode I crack tip in a metallic material// Strength Mater.-1994.-№3..-26 (3), p.194-199.   https://doi.org/10.1007/BF02209394

7. Ganulich B.K., Tymoshcook V.M., Golian O.M. Assessing the power loss under quasi-brittle fracture based on X-ray investigation of the new surface.// Materials Science. .-09.05.2020.- 55 (4), p. 509-513.

8. Гануліч Б.К., Тимощук В.М., Голіян О.М. Оцінювання енергетичних затрат за квазікрихкого руйнування на основі рентгенографічних досліджень новоутвореної поверхні //Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2019. – 55, №4-.С.47-50.

9. Гануліч Б.К. Напружений стан м’якого прошарку в умовах плоскої та осесиметричної деформацій//Фізико-хімічна механіка матеріалів. – 2023. - №6. – С.78-82.

10. B.K. Hanulich. Stress State of a Soft Interlayer  under Conditions of Plane  and Axisymmetric Strains. //Journal: Materials Science. –59(6). – p.239- 243. DOI: 10.1007/s11003-024-00841-3.

11. B.K. Ganulich . To calculate the general yield strength of bodies under the conditions of plane deformation //Materials Science. .- 11.1983.- 18 (1), p. 111-113. 

12. B.K. Ganulich. Stress relaxation around the Original Paper.// Strength of materials.- .09.1988.- 18 (5), p.194-199.

13. Гануліч Б.К. Про релаксацію напружень біля вершини тріщини відриву в металічних матеріалах//Проблеми міцності. – 1994. -№3. – С.37-42.

14. Гануліч Б.К. Про розвиток пластичних деформацій у локальних шарах плинності//Проблеми міцності. – 1988. -№3.- С.73-76.

15. Hanulich B.K. Determination of limiting load when reaching the metal yield under plane deformation. // Materials Science. - 2025.- No.4- p.61-66.  

16. B.K. Ganulich, I.P. Gnyp, V.I. Pokhmurskii. Contact strengthening of soft layers //Materials Science. Original Paper.- 05.1982.- 17 (3), p. 261-265 

17. Hanulich B.K. Determination of limiting load when reaching the metal yield under plane deformation. // Materials Science. - 2025.- No.4- p.61-66.



Creative Commons Attribution Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License
допомога Знайшли помилку? Виділіть помилковий текст мишкою і натисніть Ctrl + Enter

Інші наукові праці даної секції

Конференції

Конференції 2026

Конференції 2025

Конференції 2024

Конференції 2023

Конференції 2022

Конференції 2021



Міжнародна інтернет-конференція з економіки, інформаційних систем і технологій, психології та педагогіки

Наукова спільнота - інтернет конференції

:: LEX-LINE :: Юридична лінія

Інформаційне суспільство: технологічні, економічні та технічні аспекти становлення