Вас вітає Інтернет конференція!
Вітаємо на нашому сайті
h-АДАПТИВНИЙ МЕТОД СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ З КУСКОВО-КУБІЧНИМИ АПРОКСИМАЦІЯМИ НА ТРИКУТНИКАХ
08.10.2021 22:14
[1. Інформаційні системи і технології]
Автор: Танчинець В.В., студент кафедри програмного забезпечення, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів; Журавчак Л.М., професор кафедри програмного забезпечення, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів; Шинкаренко Г.А., професор кафедри інформаційних систем, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів
Дана робота присвячена розв’язанню варіаційної задачі дифузії-адвекції-реакції:
де
– обмежена зв’язна область з ліпшицевою межею
задані достатньо регулярні функції, за деталями див. [1, 2, 4].
Для розв’язання задачі (1) застосовується h-адаптивна схема методу скінченних елементів (МСЕ) з кубічними апроксимаціями на трикутниках [3, 5].
Покриємо область Ω сіткою 
скінченних елементів К та перенесемо розв’язування задачі (1) у підпростір апроксимацій 
знайдемо наближений розв’язок задачі (1) як розв’язок дискретизованої задачі:
скінченних елементів К та перенесемо розв’язування задачі (1) у підпростір апроксимацій знайдемо наближений розв’язок задачі (1) як розв’язок дискретизованої задачі:
Наближений розв’язок uh можна подати у вигляді лінійної комбінації
де 
– кубічні базисні функції МСЕ, а коефіцієнти q1,...,qn визначаються як розв’язок системи лінійних алгебричних рівнянь
– кубічні базисні функції МСЕ, а коефіцієнти q1,...,qn визначаються як розв’язок системи лінійних алгебричних рівнянь
матриця якої є симетричною і має стрічкову структуру.
Щоб оцінити похибку e:=u-uh знайденого наближення uhєVh ми будуємо таку варіаційну задачу про лишок
Наближені розв’язки (апостеріорні оцінювачі похибок (АОП) апроксимацій МСЕ) задачі (6) шукаємо за схемою Гальоркіна в підпросторах 
які конструюються в такий спосіб [3]
які конструюються в такий спосіб [3]
де 
– барицентричні координати трикутника K. Знаходження значень коефіцієнтів 
вимагає (згідно процедури Гальоркіна) формування і розв’язання системи із трьох лінійних алгебричних рівнянь на кожному скінченному елементі сітки.
– барицентричні координати трикутника K. Знаходження значень коефіцієнтів вимагає (згідно процедури Гальоркіна) формування і розв’язання системи із трьох лінійних алгебричних рівнянь на кожному скінченному елементі сітки. Для обчислення апроксимацій МСЕ із наперед заданою точністю TOL>0 застосовувався ітераційний алгоритм h-адаптування (локального покращення тріангуляцій з використанням методу бісекції [4]). Тут спочатку обчислювався розподіл індикаторів АОП 
, де
, де 
Пізніше визначалася множина 
трикутників 
які не задовольняють умову наперед заданої допустимої похибки
трикутників які не задовольняють умову наперед заданої допустимої похибки 
де 
і, нарешті, локальне покращення якості тріангуляції здійснювалося поділом трикутників множини 
методом бісекції [4].
і, нарешті, локальне покращення якості тріангуляції здійснювалося поділом трикутників множини методом бісекції [4]. Для розв’язування двовимірних задач дифузії-адвекції-реакції розроблений програмний комплекс в середовищі Microsoft Visual Studio з використанням мови програмування C#. В рамках цього комплексу двовимірні задачі розв’язуються за допомогою лінійних, квадратичних та кубічних апроксимацій МСЕ на трикутниках.
Числові результати. Властивості побудованої схеми аналізувалися за результатами числових експериментів з модельною задачею [6]
з точним розв’язком у вигляді
Допустимий рівень похибки задавався TOL=1%. Результати рівномірного згущення наведено в табл. 1, а в табл. 2 такі ж результати для h-адаптивного згущення. Тут 
– кількість елементів та вузлів тріангуляції 
на i – му кроці обчислень апроксимації, 
та 
– відносні похибки наближень, 
– порядки збіжності оцінювача та похибки відповідно, обчислені на двох послідовних кроках уточнення апроксимації.
– кількість елементів та вузлів тріангуляції на i – му кроці обчислень апроксимації, та – відносні похибки наближень, – порядки збіжності оцінювача та похибки відповідно, обчислені на двох послідовних кроках уточнення апроксимації.Таблиця 1. АОП і порядки збіжності кубічних апроксимацій МСЕ на рівномірно згущуваних тріангуляціях
Таблиця 2. АОП і порядки збіжності h-адаптивних кубічних апроксимацій МСЕ
На рис. 1 наведена сітка на останньому кроці h-адаптивного алгоритму, що складається з 288 елементів, а на рис. 2 – графік наближеного розв’язку, отриманий на третьому кроці адаптування сітки.
Як видно з таблиць, за допомогою рівномірного згущення сітки можна отримати наближений розв’язок із необхідною точністю за чотири ітерації, тоді як h-адаптивна схема виконує сім ітерацій, але остаточна адаптивна сітка складається з 288 скінченних елементів, на відміну від 2304 скінченних елементів рівномірного згущення. Тобто використання h-адаптування дозволяє отримати розв’язок з набагато меншими обчислювальними витратами.
Література:
1. Танчинець В. h-адаптивний метод скінченних елементів з кусково-квадратичними апроксимаціями на трикутниках. Міжнародна студентська наукова конференція з питань прикладної математики та комп’ютерних наук МСНКПМК-2020: тези доповідей (Львів, 23-24 квітня, 2020 р.). Львів: ЛНУ ім. І. Франка. 2020. С. 81-85.
2. Трушевський В.М., Шинкаренко Г.А., Щербина Н.М. Метод скінченних елементів і штучні нейронні мережі. Теоретичні аспекти та застосування – Львів : ЛНУ імені Івана Франка, 2014 – 394с.
3. Шинкаренко Г., Вовк О., Танчинець В. Високоточні h-адаптивні методи скінченних елементів з кусково-поліноміальними апроксимаціями на трикутниках. ХXVI Міжнародна наукова конференція «Сучасні проблеми прикладної математики та комп’ютерних наук» APAMCS-2021: тези доповідей (Львів, 27-28 вересня, 2021 р.). Львів: ЛНУ ім. І. Франка. 2021. С. 184-188.
4. Ostapov O.Yu., Shynkarenko H.A., Vovk O.V., A posteriori error estimator and h-adaptive finite element method for diffusion-advection-reaction problems. Recent Advances in Computational Mechanics, London, Taylor & Francis Group. – 2014. – P. 329-337.
5. Zienkiewicz O. C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals Sixth edition – Oxford, 2005 – p. 733.
6. Zhang W., Nie Y., Gu Y. Adaptive finite element analysis of elliptic problems based on bubble-type local mesh generation. J. Comput. App. Math. 280 (2015) – P. 42 – 58.
___________________
Науковий керівник: Журавчак Л.М., професор кафедри програмного забезпечення, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License
Знайшли помилку? Виділіть помилковий текст мишкою і натисніть Ctrl + Enter
Інші наукові праці даної секції
-
ОСОБЛИВОСТІ БАГАТОПОТОКОВОЇ ОБРОБКИ ДАНИХ У ДОДАТКАХ, ПОБУДОВАНИХ НА БАЗІ NODE.JS
23.09.2021 21:42 -
ОГЛЯД НОВИХ СТАНДАРТІВ, ЩО ВИКОРИСТОВУЮТЬСЯ В INTERNET OF THINGS
13.10.2021 00:50 -
ПОРІВНЯННЯ СИМЕТРИЧНОГО І АСИМЕТРИЧНОГО ШИФРУВАННЯ
13.10.2021 00:48 -
ВАЖЛИВІСТЬ ВИКОРИСТАННЯ ПРИВАТНИХ МЕРЕЖ ДЛЯ ІНТЕРНЕТУ РЕЧЕЙ
13.10.2021 00:45 -
ОСНОВИ ТУНЕЛЮВАННЯ, ЯК РЕАЛІЗАЦІЯ ТЕХНОЛОГІЇ ВІРТУАЛЬНИХ ПРИВАТНИХ МЕРЕЖ
13.10.2021 00:43
Конференції
Конференції 2024
Конференції 2023
Конференції 2022
Конференції 2021
